<meta http-equiv="refresh" content="0; URL=https://mobile.twitter.com/i/nojs_router?path=/i/moments/853144942952169472"> おわんの底よりも低位に下がることができてかつ、おわんの底以外に臨界点がない地形は存在するか？

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おわんの底よりも低位に下がることができてかつ、おわんの底以外に臨界点がない地形は存在するか？

2017年4月15日
2016年8月25日に話題のまとめ。「ペアノ、いいやつだな(笑)」という話に繋がった。
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画像の提供元: @genkuroki
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· 2016年8月25日

院試の採点中に他の教員の方から質問されて即答できなかった「極小値をもつが最小値ではなく、他に極値を持たない函数」の例。この例では原点は唯一の臨界点で、極小であるが平面全体で最小ではない

3件の返信 42件のリツイート 96 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

似たような反例として「二変数函数で二つのみ極大点をもつが、他に臨界点を持たない函数」 二つ山があれば間に峠点なり極小点が必ずあると思われるが実はそうではない。グラフを描いても見にくい

1件の返信 10件のリツイート 24 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

jstorの論文は登録すれば無料で読める。この二つ山があって峠のない函数のグラフはwolfram alphaでみてもよくわからない

1件の返信 5件のリツイート 11 いいね
· 2016年8月25日

iPhoneのQuick Graphというアプリでグラフを書いてみました。もう一枚に続く

院試の採点中に他の教員の方から質問されて即答できなかった「極小値をもつが最小値ではなく、他に極値を持たない函数」の例。この例では原点は唯一の臨界点で、極小であるが平面全体で最小ではない…
1件の返信 4件のリツイート 11 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

続き

1件の返信 1件のリツイート 4 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

こちらについてもiPhoneのQuick Graphでグラフを描いてみた。もう一枚に続く。

返信先: @Paul_Painleveさん
似たような反例として「二変数函数で二つのみ極大点をもつが、他に臨界点を持たない函数」 二つ山があれば間に峠点なり極小点が必ずあると思われるが実はそうではない。グラフを描いても見にくい
1件の返信 1件のリツイート 3 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

もう一枚

1件の返信 1件のリツイート 1 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

「2つの山のあいだの谷を勾配付きにすることによって、2つの山のてっぺん以外に臨界点無しにできる」という理解でいいのかな？

1件の返信 1 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

もっと高級なことをできる道具も手もとにありますが、式を入れるだけでグラフを描いたり、様々な計算を教えてくれたりするツールは便利だよね。先のQuick Graphとか、WolframAlphaとか。中学生あたりから使い始めるといいと思う。

1件の返信 2件のリツイート 4 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

面倒なコードを書かなくても色々教えてくれる数学ソフトはもっと増えて欲しいと思う。

1件の返信 1 いいね
· 2016年8月25日

昨夜のツイートにファボが多かったのと訂正も受けたので、少し解説をかねて長く書きます。多変数函数f(x1,x2,,,,,xn)で偏微分が全て0になる点を「臨界点」と呼びます。函数が極大・極小になるなら臨界点になるが、逆は成り立たない。以下、微分可能性は十分あると仮定します。

1件の返信 6件のリツイート 17 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

「極小値をもつが最小値ではなく、他に極値を持たない函数」の例。yを固定しながらグラフを描いた。yは赤0→橙0.5→黄1→緑1.3→空1.4→青1.42

院試の採点中に他の教員の方から質問されて即答できなかった「極小値をもつが最小値ではなく、他に極値を持たない函数」の例。この例では原点は唯一の臨界点で、極小であるが平面全体で最小ではない…
1件の返信 3 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

1変数であれば、ある区間(a,b)で定義された微分可能な函数がただ一つの極小値を持ち他に臨界点を持たなければ、自動的に最小値になります。1変数でも不連続にすれば反例はあります … が、さすがに定義域は連結で考えたい。

f[x,y]=x^3+y^3-3xy=0は(x,y)=(1,1)でのみ極小かつ値域は(－∞，∞）連続でなくてもよいなら1変数でも可能でf[x])=1/(1-x^2)…
1件の返信 4件のリツイート 7 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

z=f(x,0)はx=0で最小。yを大きくして行くとz=f(x,y)はxの函数として単調増加函数になる。そこからさらにyを大きくするとf(x,y)はyの函数として単調減少。x軸方向とy軸方向の少なくともどちらかで傾きがゼロでなくするようにしてある。

1件の返信 1 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

そこで2変数ではどうなるか。問題設定としては「平面全体で定義され、臨界点が一つしかなくそこで極小ならその極小値は大域的にも最小か？」　感覚的には反例がありそうだけど、他に極大・峠点をもたないように作るのは工夫がいるというのが

院試の採点中に他の教員の方から質問されて即答できなかった「極小値をもつが最小値ではなく、他に極値を持たない函数」の例。この例では原点は唯一の臨界点で、極小であるが平面全体で最小ではない…
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· 2016年8月25日
返信先: さん

おわんの底から出ておわんの底よりも低位に下がれる地形をおわんの底以外に臨界点がなくなるように作る問題。おわんの底から出て下に降れる場所が勾配のある尾根にあれば臨界点を作らずに無限に降れる。ふう。個人的にはこれですっきりした感じ。

1件の返信 3 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

やはり具体的な函数表示抜きに函数のグラフをフリーハンドで描いて「こういう形の函数は条件を満たしている」と言えるようにならないと。

1件の返信 3 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

. 訂正ありがとうございます また先ほどの,さんのx^3+y^3-3 x yも(1,1)で唯一の極小点ですが原点に峠点を持ちます

このツイートはありません
2件の返信 5件のリツイート 6 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

臨界点を他にもっていいのなら、一変数でも3次函数 x-3- 3xは極大・極小はそれぞれ一つずつだけど最大・最小にはならない。2変数なら、極小が一つで極大がなくても峠点があれば、うまくかわして最小にならないようにできる。この峠点を「無限大にうまく飛ばす」ことで反例が作れます

1件の返信 3件のリツイート 7 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

臨界点(停留点)を減らすには勾配のある谷や尾根をうまく作って利用すればよいということみたいですね。

1件の返信 1 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

（符号を変えて） 3xy - x^3 - y^3 の峠点である原点を無限遠にとばすにはyをe^y に変えて、3 x* e^y-x^3-e^(3 y)とすれば良いという簡単な解説：

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· 2016年8月25日
返信先: さん

Ira Rosenholtzさんはこんな例をよく考えているようで、似た話としてもう一つ紹介したのが「極大点を二つだけもつが他に臨界点を持たない」函数。二つ山があれば必ず間に峠がきそうだけど、2変数ならうまく勾配をつければ峠を消せる

返信先: @Paul_Painleveさん
似たような反例として「二変数函数で二つのみ極大点をもつが、他に臨界点を持たない函数」 二つ山があれば間に峠点なり極小点が必ずあると思われるが実はそうではない。グラフを描いても見にくい
3件のリツイート 7 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

ただ一つの臨界点を持ち、そこでは極小になるが大域的には最小値ではない2変数多項式の例としてはx^2+(1+x)^3 y^2があります。またこのような性質を持つ4次以下の2変数多項式は存在しないようです。

1件の返信 9件のリツイート 12 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん、さん

野村隆昭著『微分積分学講義』で知りました。

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· 2016年8月25日
返信先: さん

この例もグラフを見たい人がいると思ったのでつくりました。z=3xy-x^3-y^3 の原点は臨界点(峠点)

返信先: @Paul_Painleveさん
（符号を変えて） 3xy - x^3 - y^3 の峠点である原点を無限遠にとばすにはyをe^y に変えて、3 x* e^y-x^3-e^(3 y)とすれば良いという簡単な解説：
1件の返信 2件のリツイート 4 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

続きz=3xy-x^3-y^3 のyにe^yを代入するとこんなグラフになる。

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· 2016年8月25日
返信先: さん

私がいつもiPhoneで使っているQuick GraphKZ Labs「Quick Graph: Your Scientific Graphing Calculator」

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· 2016年8月25日
返信先: さん

iPhoneで購入してほとんど毎日何かに使っているWolframAlphaのアプリWolfram Group LLC「WolframAlpha」保護者は子にねだられたとき、このアプリは買ってあげるべき。

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· 2016年8月25日
返信先: さん

WolframAlphaのアプリは有料だが、ウェブで使えば無料でも使える。しかし無料での使用はCPUの制限がきついので、アプリにお金を少し払っておいた方がストレス無く使えるし、数学記号も入力しやすい。

1 いいね
· 2016年8月25日

ツイッターも早く数式に対応して欲しい。クライアントの側でMathJax対応にすればよいだけなので技術的にはそう難しくないと思う。

1件の返信 6件のリツイート 5 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

【ただ一つの臨界点を持ち、そこでは極小になるが大域的には最小値ではない2変数多項式の例としてはx^2+(1+x)^3 y^2があります】Quick Graphでのグラフ

返信先: @Paul_Painleveさん
ただ一つの臨界点を持ち、そこでは極小になるが大域的には最小値ではない2変数多項式の例としてはx^2+(1+x)^3 y^2があります。またこのような性質を持つ4次以下の2変数多項式は存在しないようです。
1件の返信 4件のリツイート 2 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

極小点の原点より下に降りるためには勾配がついている尾根を越えればよい。勾配のついた尾根上には臨界点はない。勾配のついた尾根や谷を使えば臨界点を避けられるという話みたいですね。

1件の返信 2件のリツイート 3 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

z=(x^2-y)(2x^2-y) のグラフ。U字型の谷。原点は谷の中で標高が最も高い。

返信先: @Paul_Painleveさん
次ページでペアノの反例「f= (x^2-y) (2 x^2-y)は、原点を通る任意の直線に制限すると原点が極小だが、2変数函数としては原点で極小にならない」を紹介。引用されたハイラー・ワナー「解析教程」原著p.329演習問題
1件の返信 3件のリツイート 4 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

ハイラー&ワナー『解析教程 下』 のp.225より。ペアノさんは若いときに偉い人の数学的誤りを指摘して「誰からも好意を持たれなかった」。ペアノ、いいやつだな(笑)。

1件の返信 12件のリツイート 21 いいね
· 2016年8月25日
返信先: さん

続き。添付画像はその次のページにある立体視。『解析教程』は数学教育用の例を引いてくるためにめちゃくちゃ便利な本。

3件のリツイート 10 いいね

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